Matematica

Gli Ottetti di Cayley e le Stringhe

A scuola si impara cos’è un numero e quali operazioni possiamo eseguire con esso: somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione. I matematici però sanno che esistono sistemi numerici diversi tra cui alcuni importanti per la fisica e la geometria. Uno dei più curiosi e trascurati è quello che fa uso degli Ottetti di Cayley. Scoperti solo nel 1843, ora vengono rispolverati perché potrebbero essere utili per la rappresentazione multidimensionale richiesta dalla teoria delle stringhe.

Il sistema numerico a noi più famigliare è quello dei numeri reali che è detto unidimensionale perché rappresentabile con una retta. Prima del ‘500 non esisteva altro, col complicarsi delle equazioni nel rinascimento, Gerolamo Cardano (matematico, fisico, giocatore d’azzardo e astrologo) introdusse la radice quadrata di -1, pur non sapendo perché funzionasse. Nel 1545 pubblicò le sue idee dando inizio a controversie intorno alle domande dell’esistenza o meno della radice quadrata di -1 o se sia solo un trucco. Dopo circa un secolo Cartesio pose la radice quadrata di -1 uguale ad “i”. I matematici iniziaro allora ad utilizzare “i” nella forma “a+ib” e nel 1806 Jean Robert Argand spiegò che i numeri complessi descrivevano punti di un piano: “a” ci dice quanto a sinistra o a destra si trova il punto mentre “b” ci dice quanto in alto o in basso. Dopodichè ipotizzò che si potessero eseguire anche le 4 operazioni fondamentali considerandole come trasformazioni geometriche nel piano. Possiamo quindi fare le stesse operazioni sia se usiamo numeri reali che se usiamo numeri complessi ma con quest’ultimi abbiamo uno strumento per risolvere più equazioni complesse in sistemi a più dimensioni.

Come passare da operazioni algebriche in numeri Reali monidimensionali a numeri Complessi bidimensionali

Come passare da operazioni algebriche in numeri Reali monidimensionali a numeri Complessi bidimensionali

Nel 1835 il matematico-fisico William Rowan Hamilton scoprì che è possibile scrivere i numeri complessi come coppie del tipo (a, b) al posto della notazione di Argand ‘a + ib’. Questo permette di mantenere l’interpretazione geometrica rendendo però più facile sommare e sottrarre numeri complessi. Da questa base, vennero poi scoperte solo nel 1958, nuove algebre tra cui però quelle matematicamente possibili sono solo quelle ad avere dimensione 1 (valida solo per i numeri Reali), 2 (valida per i numeri Complessi), 4 e 8. Hamilton arrivò ad una soluzione nel 1843 passeggiando con la moglie. Le 3 dimensioni sono esprimibili da 3 numeri più un quarto e cioè il tempo, generando quindi un sistema quadridimensionale detto dei Quaternioni:

a + ib + jc + kd

dove i, j e k sono radici quadrate di -1. Una curiosità è che questa equazione è stata incisa nella pietra del ponte Brougham proprio dallo stesso Hamilton. L’equazione la si può immaginare applicata ad un aereo associando i numeri a beccheggio, imbardata, rollio e ad una dilatazione o una contrazione. Un uso particolare dei quaternioni è la rappresentazione delle rotazioni tridimensionali nei computer o nel controllo dell’assetto dei veicoli aerospaziali fino ad arrivare al motore grafico di un videogioco.

Potrebbe essere lecito però chiedersi cosa siano j e k se abbiamo già definito che ‘i’ è uguale a radice quadrata di -1, ma anche se essi esistano davvero oppure no e se possiamo inventarne quante ne vogliamo. Queste domande vennero formulate da John Graves, un avvocato amico e collega di Hamilton anch’esso matematico per passione, con cui Hamilton condivideva i progressi della sua ricerca. Graves scrisse poi ad Hamilton presentandogli un nuovo sistema numerico da lui chiamato Ottave ora invece sono chiamati Ottetti o Ottoni. Questo nuovo sistema doveva essere presentato alla Irish Royal Society da Hamilton ma non essendone convinto lui stesso tralasciò la questione rimandando continuamente la presentazione.

Nel 1845 Arthur Cayley, in modo indipendente, scoprì gli ottetti e ne fece una pubblicazione prima di Graves, ecco perché oggi sono chiamati “Ottetti di Cayley”. Il disinteresse e lo scetticismo di Hamilton per gli ottetti nasce soprattutto dal fatto che essi infrangono alcune leggi dell’aritmetica:

  1. Come i quaternioni descrivono delle rotazioni tridimensionali per cui anche per loro si può dire che non sono commutativi alla moltiplicazione.
  2. Non vale la proprietà associativa della moltiplicazione: (xy)z=x(yz).

A queste violazioni si aggiungeva anche una non chiara applicazione in quanto si dimostravano validi solo per rotazioni geometriche in 7 o 8 dimensioni.

Negli anni ‘80 però i fisici ipotizzarono la supersimmetria e cioè un teoria necessaria per la teoria delle stringhe. In modo semplificato questa teoria prevede l’esistenza di un simmetria tra la materia (fermioni) e forze (bosoni), indicando inoltre che tutte le leggi fisiche ne rimangono invariate, cioè che il nostro universo e quello supersimmetrico si dovrebbero comportare allo stesso modo. Una teoria già verificata nella realtà quotidiana è la meccanica quantistica che utilizza spinori e vettori per descrivere i moti ondulatori di materia e forze, utilizziamo quindi questi due numeri combinati è possibile studiare le interazioni tra le particelle.

Proviamo ora ad immaginare un universo senza Tempo. Se consideriamo un universo 1, 2, 4 o 8 dimensionale le particelle possono essere descritte da un algebra detta di divisione in cui valgono le 4 operazioni e dove gli spinori e vettori coincidono e sono rispettivamente numeri reali, complessi, quaternioni e ottetti, facendo inoltre emergere naturalmente la supersimmetria. Nel mondo reale però il Tempo esiste, la sua esistenza produce nella teoria delle stringhe il fatto che l’oggetto monodimensionale stringa muovendosi nello spazio viene considerata bidimensionale e questo fatto aggiunge 2 dimensioni in cui appare la supersimmetria. Questa considerazione porta ad avere non una supersimmetria a 1,2,4 o 8 dimensioni ma a 3, 4, 6 e 10 dimensioni.

Stringhe e Membrane nello spazio-tempo.

Stringhe e Membrane nello spazio-tempo.

I fisici teorici confermano che la teoria è coerente, cioè produce stessi risultati in modi diversi, solo se si considerano 10 dimensioni cioè nella versione che utilizza gli ottetti. Questo almeno in teoria conferma che gli ottetti forse non sono solo delle inutili bellezze matematiche, ma un algebra che descrive le particelle nella teoria delle stringhe. I teorici delle stringhe sono poi andati oltre: le membrane bidimensionali o 2-brane descrivono nello spazio-tempo un volume tridimensionale, mentre con le stringhe dovevamo aggiungere 2 dimensioni alle standard di 1, 2, 4 e 8 ora con le brane ne dobbiamo aggiungere 3. Abbiamo quindi uno scenario teorico ad 11 dimensioni che sono quelle necessarie per la teoria delle membrane o M-Teoria che però ancora non ha delle equazioni proprie e che quindi resta ancora per molti versi misteriosa.

Va ricordato però che alla scienza la visione teorica spesso non basta, quindi va cercata anche un evidenza sperimentale della supersimmetria descritta dagli ottetti. Per David Gross, esperto della teoria delle stringhe, abbiamo solo il 50% di probabilità di osservare indizi della supersimmetria in LHC, il che implicherebbe la conferma dell’utilità degli Ottetti di Cayley per descrivere la natura che ci circonda. Di conseguenza, la conferma dell’utilità degli Ottetti, permetterebe ai fisici teorici di aggiungere un tassello in più al Problema I che ho citato nel mio posto su le 5 frontiere per la fisica moderna, portando strutture matematiche valide per lo sviluppo della teoria delle stringhe e quindi di una teoria quantistica della gravità.

Riferimenti:

– Octionions, J. C. Baez
Ottetto, pagina di Wikipedia Italia

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