Fisica, Matematica

Natura Frattale

Qualche tempo fa sono andato ad ascoltare un conferenza intitolata L’universo Frattale tenuta al Circolo Astrofili di Rozzano. Mi ha molto incuriosito e quindi ho preso qualche appunto che mi fa piacere condividere in parte in questo post ed in parte in un futuro post dedicato appunto di più ai frattali in Astronomia e Cosmologia. In questo post voglio dare solo alcune nozioni di base che sicuramente aiuteranno nella comprensione di futuri post sul rapporto tra Frattali e Natura che conto di condividere qui di Pagine di Natura in quanto è un tema, il rapporto tra matematica e natura, che mi affascina e di cui mi documenterò sicuramente.

In natura si incontrano spesso forme all’apparenza irregolari come rocce, alberi e coste, ma se osservate con più attenzione continuando ad ingrandirle ci mostrano strutture che si ripetono con regolarità: sono le forme frattali. Degli esempi disponibili nella vita quotidiana sono ad esempio le nuvole, i cristalli delle neve oppure le felci e alberi che incontriamo su di un sentiero montano durante un escursione. Anche nel Sistema Solare tali forme non sono rare, infatti le possiamo trovare nei crateri lunari, negli anelli di Saturno oppure nei laghi di Titano, ma più in là? nelle profondità del cosmo, ne incontriamo altre?.

Il concetto di Frattale non nasce dal nulla. Galileo Galilei infatti già nei suoi scritti sottolineava come ciò che la natura ci mostra sia scritto con la lingua della matematica che si esprimeva in forme come i triangoli, i cerchi e altre forme geometriche. Queste figure ovviamente le possiamo facilmente trovare ad esempio nella forma della Luna o dei Pianeti che ricorda un cerchio oppure nelle linee che collegano i corpi celesti che ricordano spesso dei triangoli. Ma sappiamo però anche riconoscere altre forme geometriche più o meno complesse. Questo è il lavoro fatto dal matematico Benoit Mandelbrot che le chiamo Frattali, dicendo che: ” Le montagne non sono coni, i golfi non sono cerchi, i tronchi degli alberi non sono cilindri, la loro corteccia non è liscia, i fulmini non procedono in linea retta “, voleva cioè dimostrare che esistevano altre forme ricorrenti in natura.

I frattali sono uno strumento che è stato utile per affrontare complessi fenomeni naturali, la loro essenza sta in alcune caratteristiche come: l’autosimilarietà, la non analicità, la gerarchia, l’iterazione, il caos, la dimensione e la legge di potenza.

L’autosimilarietà ci dice che il frattale è un oggetto le cui parti sono simili al tutto, il che significa che osservandoli con ingrandimenti sempre più spinti, rivelano sempre nuove strutture tutte simili tra loro e al tutto. Questa è una caratteristica limitata per i frattali naturali mentre è illimitata per i frattali matematici che appunto ne vengono divisi. Un buon esempio di frattale matematico è la Curva di Koch che ha la forma di un fiocco di neve.

La dimensione viene invece di solito assimilata al concetto di dimensione topologica e viene definita come il numero di direzioni indipendenti accessibili ad un punto che si muove sull’oggetto. Essa è rappresentata da un numero intero tra 1 e 3 ed è inferiore o uguale alla dimensione dello spazio in cui è immerso l’oggetto. Ad esempio se si parla di D=1 sappiamo d’essere su di una curva, se abbiamo D=2 ci troviamo su di una superficie mentre se abbiamo D=3 siamo in un volume. Il concetto di dimensione topologica però non è sufficiente ad definire l’oggetto frattale perchè per definizione è di dimensione infinita. Si introduce allora il concetto di Dimensione Frattale che nel caso di un oggetto “classico”, non frattale, coincide con quella topologica mentre se ci riferiamo ad un oggetto frattale essa corrisponde alla sua “rugosità”, tanto più un oggetto frattale è frastagliato tanto più la sua dimensione frattale si discosterà da quella topologica.

Ne riporto alcuni esempi:

povere di cantor

Polvere di Cantor

Un esempio è la Polvere di Cantor che essendo un insieme di punti ha dimensione topologica 0 mentre ha dimensione frattale 0,6309.

curva_di_koch

Curva di Koch

Un esempio è la Curva di Koch che essendo un insieme di punti ha dimensione topologica 1 mentre ha dimensione frattale 1,2618.

sierpinski

Triangolo di Sierpinski

Un esempio è la Triangolo di Sierpinski che essendo un insieme di punti ha dimensione topologica 2 mentre ha dimensione frattale 1,58496.

In natura si incontrano spesso quelli che vengono chiamati Oggetti Multifrattali che si generano quando dopo più passi si cambia quello che viene chiamato il generatore della curva. Un esempio di multifrattale in natura lo incontriamo ad esempio nei vulcani venusiani.

Approfondimenti:

Introduzione ai frattali in fisica

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