Intervista

Un ricercatore e la sua Teoria delle Categorie

Oggi vi propongo un post un pò particolare e cioè una piccola intervista ad un dottorando alla SISSA di Trieste, Fosco Loregian, che ha gentilmente voluto rispondere a poche domande che vogliono mettere in luce per lui e speriamo anche per altri, di cui sto aspettando le risposte di disponibilità, quale sono state le sue tappe e motivazioni che l’hanno portato a dedicarsi ad una materia considerata tra le più complesse e a volte tra le più inutili. Invitandolo il mio intento è ovviamente quello di cercare di far passare il messaggio contrario come Fosco farà trasparire. Ovviamente come in tutte le interviste che si rispettano, il testo è stato trascritto fedelmente senza modifiche e ogni affermazione è responsabilità di chi le ha scritte. Spero in fine questo post scateni molti commenti, perchè il tema a mio parere merita e perchè Fosco mi ha data la disponibilità nel rispondere a tutti i curiosi. Iniziamo!

Chi sei? qual è stato fin ora il tuo percorso nella matematica?

Fosco Loregian

Fosco Loregian

Mi chiamo Fosco Loregian, ho 25 anni e sono nato a Padova nel 1987. Sono stato guidato, nelle mie scelte universitarie, da ragioni profondamente estetiche e filosofiche, alla ricerca di risposte “fondazionali” che nessun filosofo però avrebbe saputo soddisfare, iniziando con la scelta della Facoltà di Fisica nell’oramai lontano 2006; giovane e idealista, mi aspettavo che le pertinenze con cui sarei potuto uscire da un tale percorso mi avrebbero permesso di capire sia la fenomenologia che la filosofia sottesa ai moti del cosmo. Mi sono pero’ reso conto molto in fretta che le cose non vanno esattamente cosi’, e per evitare che la mia esistenza si riducesse a collegare i fili ad un cubo di plastica ho deciso di cambiare aria, trasferendomi a studiare l’unica cosa che teneva ancora vivo il mio Streben verso la conoscenza: la Matematica. Nessuna scelta della mia vita mi ha portato, ad oggi, altrettanta gioia e soddisfazione: amo spesso dire che non sono affatto un genio, non possiedo “doni” che mi permettano di imparare presto e bene. Sento però distintamente (con la stessa sicurezza incrollabile di cui è pervasa una dimostrazione) che queste idee, questi modi di parlare, ragionare e vivere sono la forma stessa delle mie aspirazioni, e quelle quattro acche che ho imparato credo di averle imparate per caparbieta’ piu’ che per inclinazione.

In cosa consiste al giorno d’oggi la ricerca nella matematica? praticamente cosa si fa? fammi un esempio.

E’ difficile rispondere in modo preciso, data l’immensa vastita’ della materia e l’impossibilita’ a definirne i reali confini (la teoria dei linguaggi usata dai neuroscienziati e’ matematica? E la logica, l’informatica teorica? E poi alcune persone esitano a definire la statistica una parte della Matematica, oppure hanno delle remore a vedere come “matematico” una persona come Wittgenstein, che era decisamente orientato verso la filosofia). Un precetto che pero’ reputo trasversale all’intera pratica matematica, e che verra’ chiarito dalla terza risposta, e’ che la ricerca moderna tende a enucleare dei pattern, dei motivi comuni tra le varie teorie (algebra, geometria, logica…), in modo da arrivare a poche idee, o sperabilmente ad una sola, che sussumano tutte le altre facendo capo a pochi concetti essenziali. Piu’ che concentrarsi sulla natura cogente degli enti in gioco, la Matematica moderna (ovvero, la Matematica prodotto negli ultimi settanta-ottanta anni) ha sempre piu’ teso a enucleare le relazioni tra i concetti: Poincare’, che ha vissuto a cavallo tra XIX e XX secolo, disse che “les mathématiciens n’étudient pas des objets, mais des relations entre les objets; il leur est donc indifférent de remplacer ces objets par d’autres, pourvu que les relations ne changent pas.” (traduco a braccio: la Matematica/i matematici non studiano tanto oggetti, quanto piu’ relazioni tra gli oggetti; e’ dunque indifferente, ai loro occhi, rimpiazzare quegli oggetti con altri, a patto che le mutue relazioni che intercorrono tra essi non cambino). Questo precetto, che ha imbevuto la scienza positivista del ‘900 culminando nella filosofia strutturalista, si e’ innestato piuttosto profondamente nella pratica e nella teoria matematica, fino a diventare quella che e’ la mia (e di tanti altri) passione.

Qual è il tuo campo di ricerca e a che punto è la ricerca in questo campo? perchè credi sia importante ed interessante?

geometria-algebra-logica

geometria-algebra-logica

Io faccio una cosa che si chiama “Teoria delle Categorie”, e che sostanzialmente si puo’ definire come il tentativo di matematizzare la filosofia strutturalista. L’idea che ho tratteggiato poco sopra, di concentrarsi sulle relazioni piu’ che sugli enti, ha pervaso la cultura del secolo passato in modo trasversale, investendo la filosofia, la letteratura (la “Morfologia della Fiaba” di Propp), la linguistica (Saussure e la sua scuola), la psicologia, etc. In matematica questo vigoroso moto di astrazione e’ culminato nella nascita della teoria delle categorie, la quale si occupa, in buona sostanza, di enucleare quelle strutture “universali” la cui “forma” si ripete, ambito per ambito, nelle diverse teorie matematiche (o meglio, nelle tre che sono il tripode universale della dialettica scientifica, geometria (lo spazio), algebra (il tempo) e logica (la modellizzazione dello spazio-tempo). Tali strutture universali vengono studiate “tutte in una volta”, invece che caso per caso, in modo che la vera natura dei concetti in gioco sia trasparente: il precetto e’ identico a quello per cui in Fisica si cercano di unificare le varie interazioni fondamentali, oppure a quello per cui la forza di gravita’ e’ in ultima istanza una conseguenza della geometria locale dello spazio-tempo, e dunque l’attenzione di chi voglia studiare la gravitazione deve spostarsi verso un ente piu’ primitivo e piu’ astratto, la geometria intrinseca del cosmo. Un mio collega ama dire “Se non avessimo la teoria delle categorie, ci sentiremmo parecchi stupidi, e ci troveremmo a ri-dimostrare di continuo lo stesso teorema, in decine di istanze diverse”. Partendo da una prospettiva quanto piu’ possibile minimalista, la teoria delle categorie si occupa di studiare cosa siano i concetti matematici una volta slegati da ogni loro incarnazione, e si configura percio’ come la “linguistica interna” della Matematica pura, servendo a enucleare le strutture astratte che stanno dietro le incarnazioni concrete che vediamo nella Matematica di tutti i giorni. Ci sono sostanzialmente due motivi per cui reputo vincente un tale approccio alla pratica matematica:

a) Spesso la soluzione di un problema molto annoso e’ stata la conseguenza di un pesante cambiamento del paradigma col quale osserviamo il cosmo o i modelli che tentano di spiegarlo: pensa ad esempio ai grandi problemi della Fisica, alle grandi congetture aperte in Matematica. Una visione d’insieme, molto spesso, aiuta a capire dove realmente stanno le difficolta’ nel risolvere un grande mistero, e aiuta a focalizzare su quei noccioli duri le fatiche di chi ci si vuole impegnare, tralasciando cose che dal giusto punto di vista sono banalita’. Si dice che ci siano due modi di attaccare un problema matematico: il primo, che e’ quello dei “matematici yang”, vede il problema come una pesante roccia nel cui interno e’ incastonato un diamante, e il solutore come un minatore armato di piccone che rompendo la roccia arriva alla pietra preziosa in profondita’. C’e’ poi il “matematico yin”, che preferisce creare una teoria che avvolga la roccia come un oceano, e nel corso dei millenni la eroda gentilmente fino a scoprire il nucleo prezioso. Inutile dirti quale dei due approcci io cerchi di fare mio. 🙂 Altrettanto spesso (specie in Matematica) fare la domanda giusta, o
farla nel modo giusto, e’ gia’ aver risposto ad una sua meta’. Ecco che allora un linguaggio che ha tutte le carte per essere meta-matematico diventa estremamente utile nell’approcciare problemi molto pesanti: nel mio campo come in quello di molti altri, questo e’ un periodo di forte transizione, perche’ si sta assistendo ad un contatto sempre piu’ ravvicinato tra la Teoria delle Categorie e le scienze fisiche. Pur non potendo prevedere il futuro, gli ultimi vent’anni mostrano che il cammino di sempre maggiore astrazione di cui si sta vestendo la ricerca nelle scienze applicate è ineluttabile, perché il mondo scientifico si sta accorgendo che l’unico modo di dare ossigeno allo stato di stagnazione in cui versa una parte della ricerca è impostare un programma di ampio respiro e di matrice intrinsecamente strutturalista.

Coomologia di fasci coerenti

Coomologia di fasci coerenti

b) la teoria delle categorie, essendo un linguaggio cosi’ potente (per ora l’unico che permette di ambire a prede cosi’ grosse), e’ stato essenziale per la soluzione dei grandi problemi matematici dell’ultimo mezzo secolo, e a meno di catastrofici Armageddon continuera’ ad esserlo per parecchio. L’idea di studiare le incarnazioni di un ente “tutte in una volta”, senza sprecare tempo ed energie, per esempio, ha delle utili applicazioni nella progettazione di software (immagina di aver scritto un programma e di voler testare se fa quel che ti aspetti “in ogni circostanza”; a questo punto diventa utile disporre di un insieme di tecniche pratiche volte a tal fine) o nell’informatica teorica (esiste un intero linguaggio di programmazione, l’Haskell, scritto nel linguaggio della teoria delle categorie). Detto questo, il mio campo di lavoro si concentra nei pressi di quello che reputo il problema essenziale della ricerca fisico-matematica, ossia quello di esplicitare il rapporto che esiste tra lo spazio fisico e il modello geometrico che costruiamo per comprenderlo. Se ripensi alla storia della scienza passata, ti accorgerai che ogni “rivoluzione”, da Galileo in poi, e’ coincisa con un cambiamento nella definizione di “spazio fisico”, o con una evoluzione della nostra rappresentazione geometrica del suddetto: prima la terra stava al centro, poi ci abbiamo messo il sole. Prima lo spazio era piatto e soffuso di etere, poi l’etere e’ stato tolto e lo spazio e’ stato curvato. Prima lo spazio era omogeneo e liscio anche a piccole scale, poi si e’ visto che in realta’ va proprio al contrario, e lo “spazio (di Hilbert)” e’ diventato un modo per rappresentare il sistema in studio, piu’ che un modello per rappresentare il fenomeno fisico in se’. Detto per inciso, se e’ vero che la filosofia strutturalista in matematica si incarna nella Teoria delle Categorie, in Fisica questo contatto avviene con la Meccanica Quantistica, e quindi non reputo casuale la copula, incredibilmente fertile, tra le due teorie. Venendo a un esempio concreto (?), si puo’ dire che il problema essenziale della geometria moderna e’ una opera di classificazione: ho due “spazi” X e Y (glissando molto abilmente sul fatto che non c’e’ un modo soddisfacente e univoco di definire cosa uno spazio debba essere) e voglio sapere quando e’ possibile deformare in modo continuo (ossia: senza tagliare, strappare o incollare nessuna delle sue parti) uno nell’altro. Questo problema, cosi’ semplice da enunciare (“A e’ uguale a B?”), e’ incredibilmente resistente ad ogni tipo di attacco, e uno dei motivi per cui la Matematica moderna e’ cosi’ intricata e difficile e’ che il problema che essa tenta di risolvere (“cos’e’ lo spazio?”) e’ molto, molto piu’ intricato e difficile. Il trucco e’ allora quello di chiamare in causa una teoria potente e generale, che permetta di fare delle affermazioni quanto piu’ possibile concise e pervasive, e cambiare paradigma: mi arrendo all’evidenza che il problema di classificazione geometrica e’ insolubile, e mi sposto a considerare un problema diverso, ma equivalente: stabilire se due successioni di numeri coincidono o no. L’idea, detta in poche parole, e’ di associare (mediante delle tecniche proprie della teoria delle categorie) a X e ad Y dei numeri, a(X), b(X), c(X),… a(Y), b(Y), c(Y), … costruiti in modo tale che se X = Y allora a(X) = a(Y), b(X) = b(Y), …; qualora trovassi due numeri che non coincidono, potrei quindi saper dire quando due spazi NON sono uguali, il che e’ gia’ qualcosa, se paragonato allo stato di completa empasse in cui versavo prima.

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